研究变量之间的影响关系时，首当其冲想到的就是回归分析。其中的多元线性回归分析凭借其成熟度和广泛应用性，占据了举足轻重的地位。然而，很多同学在理解和运用这一方法时，考虑的并不全面，尤其是该方法的前提条件、结果解读和软件操作等方面。鉴于此，结合一个案例，对多元线性回归分析的整个流程进行深入探讨。
一、线性回归模型与检验
1、回归模型
线性回归可通过回归函数定量化地解释自变量X与因变量Y的关系，这种回归函数被称作线性回归模型，用样本数据估计所得的回归方程表达式如下：
^=0+11+22+⋯++
β0为常数项，又称为截距；βi（i=1,2,...,p）表示在其他自变量Xi不变时指定的某个自变量X每变动一个单位时因变量Y的平均变化量；ε称为残差，是因变量真实取值与估计值之间的差值，是一个随机变量。
2、模型检验与评价
拟合线性回归模型后，要对模型总体拟合状况进行检验和评价，通过检验后方可用于影响因素分析或回归预测。线性回归模型的检验如下表所示：
（1）回归模型总体显著性检验
研究者采用F检验对回归模型总体是否显著(有统计学意义)进行检验。该检验原假设回归方程中至少有一个自变量的回归系数不为0，当F检验的p值小于0.05时说明模型显著，即至少有一个自变量对因变量的影响有统计学意义；反之，若p值大于0.05则说明模型不成立。
（2）回归系数显著性检验
回归方程总体显著，如果想进一步判断哪些自变量的回归系数是显著的，则需要进行t检验。如果回归系数t检验p值
（3）回归模型拟合优度评价
拟合优度是指样本数据各点围绕回归直线的密集程度，用来评价回归模型的拟合质量。一般是用决定系数R^2为评价指标，R^2接近1说明回归模型拟合优度良好，R^2接近0说明回归模型拟合优度差。R^2一般解释为回归模型对因变量Y总变异的解释力度，如R^2为0.8，即回归模型可解释因变量Y总变异原因的80%。R^2会随自变量的个数或样本量的增加而增大，为了消除这种影响，引进了调整后的R^2。
二、线性回归适用条件
线性回归对数据资料是有要求的，因变量必须是定量数据，自变量可以是定量数据也可以是定类数据。除此之外，线性回归的正确使用，还应满足以下的主要适用条件，如下表所示：
特别提示：当自变量为定类数据时，比如专业（共分为‘理科类’，‘工科类’和‘文科类’）通常需要进行哑变量处理，然后再进行回归分析等。
原因：自变量为定类数据时，不能得到X越如何，Y越如何的结论。进行虚拟变量设置后，定类数据的回归分析才有意义，比如得到“相对于文科类专业（数字0）；非文科类专业(1)工资越高”这样的结论。
参照项：专业为3类，进行哑变量处理后，在回归模型中，只能放入2个哑变量，因为需要留一个专业作为参照项。比如将文科类作为参照项，后续可以得到“相对于文科类专业，理科or工科类怎样怎样”的结论。并且从数学角度来讲，如果专业对应的3个虚拟变量都放入模型，一定会出现‘多重共线性问题’。
接下来，通过一个案例，介绍如何使用软件进行多元线性回归分析，以及适用条件检验、回归结果应该如何解读。
三、案例实战
线性回归分析一般分析步骤如下：
案例背景：拟建立以“年龄”“教育年限”“工龄”“现雇佣年”为自变量，“工资”为因变量的多元线性回归模型。
1、线性关系判断
多元线性回归分析要求自变量X与因变量Y之间存在线性关系，可以通过绘制散点图或者查看变量之间的相关系数的方式进行。
本案例使用散点图用于直观展示自变量X与因变量Y之间的关系情况，利用SPSSAU可视化->散点图进行分析，操作如下：
SPSSAU输出四个自变量与工资的散点图如下：
从散点图可以看出，“工资”与“年龄”和“教育年限”存在强线性相关关系，而与“工龄”和“现雇佣年”存在弱线性相关关系。
2、建立线性回归模型
本例考察的4个自变量均为定量数据，可直接进行线性回归分析。在仪表盘中依次单击【通用方法】→【线性回归】模块，将变量拖拽到对应分析框中，勾选【保存残差和预测值】复选框，操作如下图所示：
线性回归结果表格较多，包括线性回归分析结果、ANOVA表格等，我们可以按步骤进行解读和分析。
3、回归模型检验与评价
（1）回归模型总体显著性检验
多个自变量与因变量这个整体的显著性检验，是使用F检验进行的，可以判断多元线性回归模型是否有意义。
分析结果见上表F检验结果，F=111.78，p<0.05，表明该线性回归模型总体上有统计学意义，即至少有一个X会对Y产生影响。
（2）回归系数显著性检验
回归系数显著性检验是指每个自变量对因变量影响的显著性检验，使用t检验进行。
上表中第5、6列为各自变量回归系数的t检验结果，从上表可以看出，年龄、教育年限对应t检验的p值均小于0.05，呈现出显著性特征。工龄、现雇佣年p值均大于0.05，所以本例考察的4个自变量，年龄、教育年限对工资有显著影响，而另外两个变量对工资无影响。
（3）回归模型拟合度评价
R方用于分析模型的拟合优度，又称决定系数。R方的值介于0~1之间，代表模型的拟合程度，一般认为越大越好。一元线性回归时以R方作为拟合优度评价指标，多元线性回归时则采用调整后的R方作为拟合优度评价指标。
本例调整后的R方为0.37，表示建立的回归模型可解释因变量工资总变异信息的37%。R方越接近1越能说明模型的解释能力，不同行业及领域对R方的接受不尽相同，没有绝对的标准，可参考行业文献进行判断。
4、残差及共线性诊断
在分析前我们勾选了【保存残差和预测值】，SPSSAU自动保存名为“Regression_Prediction_XXXX”，即回归方程对现有数据的预测值（以下简称Prediction），和“Regression_Residual_XXXX”即本次回归的非标准化残差值（以下简称Residual）。
（1）残差正态性检验
可通过残差直方图来判断残差的正态性，SPSSAU可视化->直方图，将【Residual】拖曳至右侧分析框中，得到残差直方图如下：
分析线性回归残差直方图可知，直方图呈现左右对称的形态，比较接近正态分布，认为其近似正态分布，残差满足正态分布的要求。
（2）残差等方差性检验
一般来说残差诊断的散点图，会将其预测值作为X轴，残差值作为Y轴，如果所有点均匀分布在直线Y=0的两侧，则可以认为满足方差齐性，散点图结果如下：
线性回归预测值与回归残差值散点图如上图所示。点的分布并不是随机的，随着回归预测值的增大，残差有“逐渐放大”的趋势，呈现开口向右的“喇叭状”形态，提示本次建立的线性回归模型残差不满足等方差性，存在残差异方差的问题，这对线性回归过程是不利的，影响结果的准确性，应当重视并想办法予以处理。
解决办法：常见的处理方式可先对回归分析的因变量进行对数函数的变换，再重新建立线性回归模型，由于篇幅限制本案例暂不演示（提示：若回归分析只是建立X与Y之间的关系，无须根据X预测Y值可信度等，则方差齐性和正态性可以适当放宽。）。
（3）残差独立性检验
残差独立性通常用D-W检验方法，如果D-W值在2附近（1.7～2.3），则说明残差独立。D-W检验结果在线性回归中能自动计算并输出。
由线性回归结果可知，本例的D-W值为1.847，在1.7～2.3范围内，认为残差独立。
（4）多重共线性检验
共线性是指在线性回归分析时，出现的自变量之间彼此相关的现象。使用SPSSAU进行多元线性回归时，分析结果会自动输出VIF值，用来判断是否存在共线性。一般VIF值大于10（严格大于5），则认为存在严重的共线性。有些文献也以容忍度作为判断共线性的指标，容忍度为VIF值的倒数，容忍度大于0.1则说明没有共线性(严格是大于0.2)。研究时二者选其一即可，一般描述VIF值。
从上表可以看出，VIF值均小于5，说明不存在共线性问题。如果数据存在共线性，可以手动移除相关性非常高的变量，或者改用逐步回归、岭回归等方法进行分析。
5、回归分析结果报告
线性回归分析结果如下：
（1）模型公式构建
从上表可知，将年龄,教育年限,工龄,现雇佣年作为自变量，而将工资作为因变量进行线性回归分析，回归模型显著，F=111.783，p<0.01。从上表可以看出，模型公式为：工资=-370.698+ 17.591*年龄+22.373*教育年限-0.034*工龄+5.353*现雇佣年
提示：构建回归模型使用非标准化回归系数，它是方程中不同自变量对应的原始回归系数，反映了在其他自变量不变的情况下，该自变量每变化一个单位对因变量作用的大小。通过非标准化回归系数构建的回归方程，才可以对因变量进行预测。
（2）自变量影响大小比较
其中年龄（Beta=0.360,p<0.01）、教育年限（Beta=0.342,p<0.01）会对工资产生显著正向影响；工龄（Beta=0.000,p=0.989）、现雇佣年（Beta=0.062,p=0.052）不会对工资产生影响。
提示：自变量对因变量影响大小的比较是通过标准化回归系数进行比较的。标准化回归系数的绝对值越大，说明该自变量对因变量的影响越大。标准化回归系数，是对自变量和因变量同时进行标准化处理后所得到的回归系数，数据经过标准化处理后消除了量纲、数量级等差异的影响，使得不同变量之间具有可比性。
四、总结
划重点
1、应用：多元线性回归分析用于分析变量之间的影响关系，因变量为定量数据，自变量可以为定量数据或者定类数据，定类数据时需要进行哑变量处理再分析。
2、前提条件：若自变量为定量数据，需要与因变量之间满足线性关系，可通过散点图或者相关分析进行检验。残差需要满足正态性、方差齐性和独立性。正态性可以通过检验残差直方图进行检验；方差齐性通过残差散点图进行检验；独立性通过D-W检验进行判断。自变量之间多重共线性通过VIF值进行判断。
3、F检验：用于检验模型整体是否有统计学意义。
4、t检验：用于判断各个回归系数显著性，检验各自变量对因变量影响是否显著。
5、R方与调整后R方：用于判断模型的拟合优度，通常越大越好。
6、非标准化回归系数（B）：构造多元线性回归模型使用非标准化回归系数，由此得到的回归模型才能用来预测。
7、标准化回归系数（Beta）：比较自变量对因变量影响大小使用标准化回归系数，绝对值越大，影响越大。
参考文献：周俊,马世澎.SPSSAU科研数据分析方法与应用.第1版[M].电子工业出版社,2024.
标签： 多元线性回归
